Как задать формулой линейную функцию

Линейная функция « y = kx + b » и её график

Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.

Буквенные множители « k » и « b » называют числовыми коэффициентами .

Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.

Примеры функций типа « y = kx + b ».

Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты « k » и « b » .

Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».

Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.

Числовый коэффициент « b » присутствет в функции типа « y = kx + b » всегда. В функции « y = 0,5x » числовый коэффициент « b » равен нулю .

Как построить график линейной функции
« y = kx + b »

Графиком линейной функции « y = kx + b » является прямая .

Так как графиком функции « y = kx + b » является прямая линия , функцию называют линейной функцией.

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.

Для примера построим график функции « y = −2x + 1 ».

Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».

Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.

Читать еще: Почему мусульмане не любят собак

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».

Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »

Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:

значение « y » соответствующее значению « x » равному −1; 2; 3; 5 ;
значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .

Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».

Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».

Требуется найти значение « y », соответствующее значению « x »,
которое равно −1; 2; 3; 5 .

Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:

провести перпендикуляр от оси « Ox » (ось абсцисс) из заданного числового значения « x » до пересечения с графиком функции;
из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси « Oy » (ось ординат);
полученное числовое значение на оси « Oy » и будет искомым значением.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции « y = 2x + 3 » необходимые значения функции « y » для « x » равным −1; 2; 3; 5 .

Линейная функция.

Линейной функцией называется функция, заданная формулой y = kx + b , где k и b – любые действительные числа.
Графиком линейной функции является прямая.

Если k = 0, то функция y = b называется постоянной. Её графиком, является прямая, параллельная оси Ox.
Если b = 0, то формула y = kx задает прямо пропорциональную зависимость. Графиком такой функции является прямая, проходящая через начало координат.

Читать еще: Как полнолуние влияет на человека

Верно и обратное – любая прямая, не параллельная оси Oy, является графиком некоторой линейной функции.

Построить график линейной функции очень легко.
Положение любой прямой однозначно определяется заданием двух её точек. Поэтому линейная функция вполне определяется заданием её значений для двух значений аргумента. Например,

Если Вы являетесь моим учеником или подписчиком, то можете поработать с интерактивными версиями этих графиков.

Свойства линейной функции при k ≠ 0, b ≠ 0.
1) Область определения функции – множество всех действительных чисел: R или (−∞; ∞).
2) Функция y = kx + b ни четна, ни нечетна.
3) При k > 0 функция монотонно возрастает, а при k < 0 монотонно убывает на всей области определения.

Упражнение:
На рисунке представлены 4 прямые линии. Могут ли они являться графиками функций? Если да, то определите каких.

Прямые, наклоненные к оси абсцисс под острым или тупым углом – графики линейной функции общего вида: y = kx + b. Параметр b легко определить по точке пересечения линии с осью ординат (Oy). Параметр k определяется построеним по клеточкам треугольника, содержащего угол α для острых углов или смежный с ним – для тупых. Точные ответы на рисунке.
Прямая, параллельная оси абсцисс (здесь – горизонтальная линия), является графиком частного вида линейной функции y = b, который называют постоянной или константой. Значение этой функции не изменяется, поэтому ординаты точки графика всегда находятся на одной высоте относительно оси Ox.

Следующая прямая линия НЕ является графиком какой-либо функции. Здесь нет однозначности. Если x = 6, то y = ? Любому действительному числу! Т.е., для неё не удовлетворяется определение функции, а именно условие, что каждому значению аргумента x должно соответствовать единственное значение функции y. Но такие линии нам тоже встречаются, например, в качестве вертикальных асимптот. Поэтому нужно знать, что их уравнение x = a, где а – заданное число.

Видеоуроки для подготовки к ОГЭ по математике. 9 класс.

Подробное исследование коэффициентов линейной функции.

Примеры решения заданий 10 ОГЭ по математике.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь – mathematichka@yandex.ru

Читать еще: При какой температуре надевать шубу

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Как задать формулой линейную функцию

На рисунке изображён график линейной функции. Напишите формулу, которая задаёт эту линейную функцию.

График возрастает, следовательно, коэффициент при x положительный. Также из графика видно, что прямая проходит через точки (0; −1) и (1; 1). Так как график смещен на одну клетку вниз, то свободный коэффициент равен −1.