Что такое координаты вектора

Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается O x y , где O x и O y – оси коорднат. Ось O x называют осью абсцисс, а ось O y – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось O z , которая перпендикулярна и O x и O y ).

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат O x y на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i → и j → , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей O x и O y , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i → и j → являются координатными векторами.

Координатные векторы

Векторы i → и j → называются координатными векторами для заданной системы координат.

Откладываем от начала координат произвольный вектор a → . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a → может быть представлен в виде a → = a x · i → + a y · j → , где коэффициенты a x и a y – единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Разложение вектора

Разложением вектора a → по координатным векторам i → и j → на плоскости называется представление вида a → = a x · i → + a y · j → .

Коэффициенты a x и a y называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a → = ( 2 ; – 3 ) означает, что вектор a → имеет координаты ( 2 ; – 3 ) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i → и j → как a → = 2 · i → – 3 · j → .

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Читать еще: За что задержали Конора Макгрегора

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i → и j → имеют координаты ( 1 ; 0 ) и ( 0 ; 1 ) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i → = 1 · i → + 0 · j → ; j → = 0 · i → + 1 · j → .

Также имеет место быть нулевой вектор 0 → с координатами ( 0 ; 0 ) и разложением 0 → = 0 · i → + 0 · j → .

Равные и противоположные векторы

Векторы a → и b → равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, – a → = ( – a x ; – a y ) .

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i → , j → , k → , а произвольный вектор a → раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a → = a x · i → + a y · j → + a z · k → , а коэффициенты этого разложения ( a x ; a y ; a z ) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i → = ( 1 ; 0 ; 0 ) , j → = ( 0 ; 1 ; 0 ) , k → = ( 0 ; 0 ; 1 ) , координаты нулевого вектора также равны нулю 0 → = ( 0 ; 0 ; 0 ) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равны a → = b → ⇔ a x = b x , a y = b y , a z = b z , и координаты противоположного вектора a → противоположны соответствующим координатам вектора a → , то есть, – a → = ( – a x ; – a y ; – a z ) .

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат O x y и на ней задана произвольная точка M с координатами M ( x M ; y M ) .

Вектор O M → называется радиус-вектором точки M .

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор O M → имеет вид суммы O M → = O M x → + O M y → = x M · i → + y M · j → , где точки M x и M y это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i → и j → – координатные векторы, следовательно, вектор O M → имеет координаты ( x M ; y M ) в данной системе координат.

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M ( x M ; y M ; z M ) разлагается по координатным векторам как O M → = O M x → + O M y → + O M z → = x M · i → + y M · j → + z M · k → , следовательно, O M → = ( x M ; y M ; z M ) .

Читать еще: Чем отличается сони плейстейшен 3

Координаты вектора

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где — координаты вектора.

Свойства

Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты
Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

Подразумевается, что координаты вектора не равны нулю.

Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:

При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:

При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителяматрицы

Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

См. также

Проставить интервики в рамках проекта Интервики.
Добавить иллюстрации.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое “Координаты вектора” в других словарях:

Координаты (математ.) — Координаты [от лат. co (cum) ≈ совместно и ordinatus ≈ упорядоченный, определённый], числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на любой поверхности или в пространстве. Первыми вошедшими в систематическое употребление К.… … Большая советская энциклопедия

Координаты системы — [system coordinates] переменные величины, значения которых характеризуют какое либо качество системы, а в совокупности ее состояние в данный момент. Координат может быть бесчисленное множество, для практических же целей всегда приходится… … Экономико-математический словарь

координаты системы — Переменные величины, значения которых характеризуют какое либо качество системы, а в совокупности ее состояние в данный момент. Координат может быть бесчисленное множество, для практических же целей всегда приходится отбирать определенное их… … Справочник технического переводчика

Координаты Риндлера — В релятивистской физике, координатами Риндлера называется важная и полезная координатная система, представляющая часть плоского пространства времени, также называемого пространством Минковского. Координаты Риндлера были введены Вольфгангом… … Википедия

Координаты — I Координаты [от лат. co (cum) совместно и ordinatus упорядоченный, определённый], числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на любой поверхности или в пространстве. Первыми вошедшими в систематическое… … Большая советская энциклопедия

КООРДИНАТЫ — числа, величины, по к рым находится (определяется) положение какого либо элемента (точки) в некоторой совокупности (множестве М), например на плоскости поверхности, в пространстве, на многообразии. В ряде разделов математики и физики К. именуются … Математическая энциклопедия

ПЛЮККЕРОВЫ КООРДИНАТЫ — координаты прямой в трехмерном пространстве, шесть чисел р 01, p02, p03, p04, p05, p06 из к рых первые три являются координатами направляющего вектора lпрямой L, а вторые три моменты этого вектора относительно начала координат. Пусть прямая… … Математическая энциклопедия

Читать еще: Как чувствует себя кот после кастрации

Модуль вектора — Модулем (длиной) вектора называется длина(норма) соответствующего вектора AB и обозначается как . В евклидовом n мерном пространстве длина вектора рассчитывается как корень из скалярного произведения этого вектора на себя, в том случае если это… … Википедия

Норма геометрического вектора — Модулем (длиной) вектора называется длина(норма) соответствующего вектора AB и обозначается как . В евклидовом n мерном пространстве длина вектора рассчитывается как корень из скалярного произведения этого вектора на себя, в том случае если это… … Википедия

ПОЛУГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ — геодезические нормальные координаты, координаты х 1, . . ., х n в n мерном римановом пространстве, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующие x1, являются геодезич. линиями, на к рых х 1 играет роль нормального параметра, а… … Математическая энциклопедия

Координаты вектора

Векторы: ( mathbf ) , ( mathbf ) , ( mathbf )

Длины векторов: ( left| > right| ) , ( left| > right| )

Единичные векторы: ( mathbf ) , ( mathbf ) , ( mathbf )

Направляющие косинусы: ( cos alpha ) , ( cos beta ) , ( cos gamma )

Вектором называется направленный отрезок, один из концов которого является началом, а другой − концом вектора.

Единичные векторы

Единичные векторы трехмерной декартовой системы координат обозначаются следующим образом:

( mathbf = left( <1,0,0>right) ) ,
( mathbf = left( <0,1,0>right) ) ,
( mathbf = left( <0,0,1>right) ) ,
( left| mathbf right| = left| mathbf right| = left| mathbf right| = 1 ) .

Данная тройка единичных векторов образует базис координатной системы.

Любой вектор можно разложить по базисным векторам. Формула разложения записывается в виде :

( mathbf = mathbf = left( <– > right)mathbf + left( <– > right)mathbf + left( <– > right)mathbf. )

Длиной (или модулем ) вектора называется расстояние между началом и концом вектора

Противоположные векторы имеют равные длины и направлены в противоположные стороны:
Если ( mathbf = mathbf ) , то ( mathbf = -mathbf ) .

Координатами вектора называются проекции вектора на оси координат:
( X = left| mathbf right|cos alpha ) , ( Y = left| mathbf right|cos beta ) , ( Z = left| mathbf right|cos gamma. )

Величины ( cosalpha ) , ( cosbeta ) , ( cosgamma ) являются направляющими косинусами вектора ( mathbf ) .

Векторы называются коллинеарными , если они параллельны одной и той же прямой.

Векторы являются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. У равных векторов соответствующие координаты также равны:
Если ( mathbfleft( right) = mathbfleft( <,,> right) ) , то
( X = ) , ( Y = ) , ( Z = ) .

Источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/koordinaty-vektora-v-dsk/

http://dikc.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1309623

http://calcsbox.com/post/koordinaty-vektora.html